Дерево решений

В настоящей статье описан пошаговый подход к построению дерева решений на базе простого примера, который позволит лучше понять этот метод.

Для построения дерева решений не существует универсального набора символов, но чаще всего квадраты (□) используются для представления «решений», а круги (○) для представления «результатов». Поэтому я буду использовать в своей статье именно эти символы.

Дерево решений и задача, требующая многошагового принятия решений

Дерево решений – это представление задачи в виде диаграммы, отражающей варианты действий, которые могут быть предприняты в каждой конкретной ситуации, а также возможные исходы (результаты) каждого действия. Такой подход особенно полезен, когда необходимо принять ряд последовательных решений и (или) когда на каждом этапе процесса принятия решения могут возникать множественные исходы.
Например, если рассматривается вопрос, стоит ли расширять бизнес, решение может зависеть более чем от одной переменной.

Например, может существовать неопределенность как в отношении объема продаж, так и величины затрат. Более того, значение некоторых переменных может зависеть от значения других переменных: например, если будет продано 100,000 единиц продукта, себестоимость единицы продукта составит $4, но если будет продано 120,000 единиц, себестоимость единицы снизится до $3.80. Таким образом, возможны различные исходы ситуации, при этом некоторые из них будут зависеть от предыдущих исходов. Дерево решений представляет собой полезный метод разделения сложной задачи на более мелкие и более управляемые подзадачи.

Решение задачи при помощи дерева решений осуществляется в два этапа. Первый этап включает построение дерева решений с указанием всех возможных исходов (финансовых результатов) и их вероятностей. Следует помнить, что при принятии решений нужно опираться на принцип релевантных затрат, т. е. использовать только релевантные затраты и выручку. Второй этап включает оценку и формулировку рекомендаций. Принятие решения осуществляется путем последовательного расчета ожидаемых значений исходов в обратном порядке  от конца к началу (справа налево). После этого формируются рекомендации для руководства по выбору оптимального образа действий.

Построение дерева решений

Дерево решений всегда следует строить слева направо. Выше я упоминал «решения» и «исходы». Точки принятия решений представляют собой варианты альтернативных действий, то есть возможные выборы. Вы принимаете решение пойти либо этим, либо другим путем. Исходы (результаты решений) от вас не зависят. Они зависят от внешней среды, например, от клиентов, поставщиков или состояния экономики в целом. Как из точек принятия решений, так и из точек исходов выходят «ветви» дерева. Если существует, например, два возможный варианта действий, из точки принятия решения будут выходить две ветви, и если существует два возможных исхода (например, хороший и плохой), то из точки исхода тоже будут выходить две ветви. Поскольку дерево решений является инструментом оценки различных вариантов действий, то все деревья решений должны начинаться с точки принятия решения, которая графически представляется квадратом.

Пример простого дерева решений показан ниже. Из рисунка видно, что лицо, принимающее решение, может выбрать из двух вариантов, поскольку из точки

принятия решения выходит две ветви. Исход одного из вариантов действий, представленного верхней ветвью, точно известен, поскольку на этой ветви нет никаких точек возможных исходов. Но на нижней ветви есть круг, который показывает, что в результате данного решения возможны два исхода, поэтому из него исходят две ветви. На каждой из этих двух ветвей тоже имеется по кругу, из которых, в свою очередь, тоже выходят по две ветви. Это значит, что для каждого из упомянутых возможных исходов имеется два варианта развития ситуации, и каждый из вариантов имеет свой исход. Возможно, первые два исхода представляют собой различные уровни дохода в случае осуществления определенной инвестиции, а второй ряд исходов - различные варианты переменных затрат для каждого уровня доходов.

PM DT1

После построения основы дерева, как показано выше, необходимо указать финансовые значения исходов и их вероятности. Важно помнить, что вероятности, указанные для ветвей, исходящих из одной точки, в сумме должны давать 100%, иначе это будет означать, что вы не указали на диаграмме какой-либо результат, или допустили ошибку в расчетах. Пример приведен ниже в статье.

После построение дерева решений необходимо оценить решение.

Оценка решения

Дерево решений оценивается справа налево, т. е. в направлении, обратном тому, которое использовалось для построения дерева решений. Для того, чтобы осуществить оценку, вы должны предпринять следующие шаги:

  1. Подпишите все точки принятия решений и исходов, т.е. все квадраты и круги. Начните с тех, которые расположены в самой правой части диаграммы, сверху вниз, и затем перемещайтесь влево до самого левого края диаграммы.
  2. Последовательно рассчитайте ожидаемые значения всех исходов, двигаясь справа налево, используя финансовые показатели исходов и их вероятности.

Наконец, выберите вариант, который обеспечивает максимальное ожидаемое значение исхода и подготовьте рекомендации для руководства.

Важно помнить, что использование ожидаемых значений для принятия решения имеет свои недостатки. Ожидаемое значение – это средневзвешенное значение исходов решения в долгосрочной перспективе, если бы это решение принималось много раз.
Таким образом, если мы принимаем однократное решение, то фактический результат

быть далек от ожидаемого значения, поэтому данный метод нельзя назвать очень точным. Кроме того, рассчитать точные вероятности довольно сложно, поскольку конкретная рассматриваемая ситуация могла никогда не случаться в прошлом.

Метод ожидаемого значения при принятии решений полезен тогда, когда инвестор имеет нейтральное отношение к риску. Такой инвестор не принимает на себя чрезмерные риски, но и не избегает их. Если отношение к риску лица, принимающего решение, неизвестно, то сложно сказать, стоит ли использовать метод ожидаемого значения. Может оказаться более полезным просто рассмотреть наихудший и наилучший сценарии, чтобы создать основу для принятия решения.

Я приведу простой пример использования дерева решений. В целях упрощения считайте, что все цифры являются чистой приведенной стоимостью соответствующего показателя.

Пример 1
Компания принимает решение, стоит ли разрабатывать и запускать новый продукт. Ожидается, что затраты на разработку составят $400,000, при этом вероятность того, продукт окажется успешным, составляет 70%, а вероятность неудачи, соответственно, 30%. Ниже приведена оценка прибыли от продажи продукта, в зависимости от уровня спроса – высокого, среднего или низкого, а также соответствующие каждому уровню вероятности:

Спрос

Вероятность

 

Высокий

0.2

$500,000 в год, в течение 2-х лет

Средний

0.5

$400,000 в год, в течение 2-х лет

Низкий

0.3

$300,000 в год, в течение 2-х лет

В случае неудачи имеется 60% вероятность, что результаты разработки можно будет продать за $50,000, однако существует 40% вероятность, что продать эти результаты будет невозможно.

Базовое дерево решений представлено ниже:

PM DT2

Далее необходимо указать значения прибыли, не забывая о том, что прибыль в случае успешного запуска будут генерироваться на протяжении двух лет, а также их вероятности.

PM DT3

Теперь необходимо подписать точки принятия решений и исходов, продвигаясь справа налево по дереву решений.

PM DT4

После этого нужно рассчитать ожидаемые значения каждого исхода, умножив показатели прибыли на соответствующие вероятности. Ожидаемое значение рассчитывается для точки исходов А, а затем для точки исходов В, после чего можно рассчитать ожидаемое значение в точке С, умножив ожидаемые значение в точках А и В на соответствующие вероятности.

ОЗ в А = (0.2 x $1,000,000) + (0.5 x $800,000) + (0.3 x $600,000) = $780,000.
ОЗ в В = (0.6 x $50,000) + (0.4 x $0) = $30,000.
ОЗ в С = (0.7 x $780,000) + (0.3 x $30,000) = $555,000

Ожидаемые значения можно указать на диаграмме.

PM DT5

После выполнения расчетов можно двигаться дальше влево к точке принятия решений D. Для принятия решения в точке D нужно сравнить ожидаемое значение верхней ветви дерева (которая, учитывая отсутствие точек исходов, имеет единственный исход, вероятность которого равна 100%) с ожидаемым значением нижней ветви, за вычетом соответствующих затрат. Таким образом, в точке принятия решений D нужно сравнить ожидаемое значение отказа от разработки продукта, которое равно $0, с ожидаемым значением решения разрабатывать продукт которое за вычетом затрат в размере $400,000, составит $155,000.

Теперь можно сформулировать рекомендацию для руководства: разрабатывать продукт, поскольку ожидаемое значение прибыли в этом случае составит $155,000.

Часто существует несколько способов представления дерева решений. В нашем примере, фактически, имеется пять исходов решения начать разработку продукта:

  1. Продукт будет успешным и обеспечит высокую прибыль в размере $1,000,000.
  2. Продукт будет успешным и обеспечит среднюю прибыль в размере $800,000.
  3. Продукт будет успешным и обеспечит небольшую прибыль в размере $600,000.
  4. Продукт будет неудачным, но результаты разработки будут проданы за $50,000.
  5. Продукт будет неудачным и не принесет никакого дохода.

Таким образом, вместо дерева решений, в котором из точки С выходит две ветви, каждая из которых имеет еще по нескольку ветвей, можно нарисовать другое дерево, как показано ниже:

PM DT6

Теперь вы можете видеть, что вероятности для ветвей дерева, выходящих из точки результатов А, изменились. Это произошло потому, что в данном случае указаны совместные вероятности, которые являются комбинацией вероятности успеха или неудачи (0,7 и 0,3) с вероятностью высокой, низкой или средней прибыли (0.2, 0.5 и 0.3 соответственно). Совместные вероятности рассчитываются путем умножения двух вероятностей, соответствующих каждому исходу:

Успех и высокая прибыль: 0.7 x 0.2 = 0.14
Успех и средняя прибыль: 0.7 x 0.5 = 0.35
Успех и невысокая прибыль: 0.7 x 0.3 = 0.21
Неудача и продажа результатов разработки: 0.3 x 0.6 = 0.18
Неудача и отсутствие дохода от продажи результатов разработки: 0.3 x 0.4 = 0.12

Сумма всех совместных вероятностей должна быть равна 1, если это не так, вы сделали ошибку в расчетах.

Результат не изменится от того, будете вы использовать первый метод (который я считаю более простым) или второй.

Приведенный выше пример дерева решений довольно простой, но принципы, которые мы рассмотрели, могут применяться к более сложным решениям, требующим построения деревьев со значительно большим количеством точек принятия решений, точек исходов и ветвей.

И, наконец, я всегда перечеркиваю двумя параллельными линиями ту ветвь или ветви, которые указывают на альтернативу, от которой я решил отказаться (в данном случае такой ветвью будет "не разрабатывать продукт"). Не все так поступают, но, на мой взгляд, это делает дерево более читабельным. Важно помнить, что лицо, принимающее решение, не контролирует исходы, поэтому ветви, выходящие из точек исходов, никогда не перечеркиваются. Перечеркивание ветвей показано ниже на примере первоначального (предпочтительного) дерева:

PM DT7

Стоимость полной и неполной информации

Информация считается полной, если она является 100% достоверным прогнозом. Однако даже информация, которая не является 100% достоверным прогнозом, все же лучше, чем отсутствие какой-либо информации вообще. Такая информация называется неполной. Стоимость неполной информации рассчитать гораздо сложнее, такое задание может появится на экзамене, только если все остальные расчеты в вопросе будут очень простыми. В этой статье мы будем рассматривать только полную информацию, так как расчет стоимости неполной информации в примере, который предлагаю я, будет очень сложным, гораздо сложнее того, который может встретиться на экзамене.

Полная информация

Стоимость полной информации – это разница между ожидаемым значением исхода при наличии полной информации и ожидаемым значением исхода в отсутствие этой информации. Предположим, в нашем примере, что некое агентство может предоставить информацию о том, будет ли продукт успешным и какую прибыль в результате удастся получить: высокую, среднюю или низкую. Ожидаемое
значение полной информации можно рассчитать, используя таблицу. Для этого полезно иметь результаты расчетов совместных вероятностей, сделанных при построении второго дерева решений, поскольку в этом случае расчет ожидаемого значения можно представить следующим образом.

Успех или неудача продукта и уровень спроса

Совместная вероятность

Прибыль минус затраты на разработку

Продолжать?

 

Успех и высокий

0.14

$600,000

Да

$84,000

Успех и средний

0.35

$400,000

Да

$140,000

Успех и низкий

0.21

$200,000

Да

$420,000

Неуспех и продажа

0.18

($350,000)

Нет

0

Неуспех и невозможность продать

0.12

($400,000)

Нет

0

 

 

 

 

$266,000

Однако это можно сделать и с помощью вероятностей из нашего первоначального дерева, как показано в таблице ниже, которые затем нужно умножить на вероятность успеха или неудачи, т.е. на 0.7 или 0.3:

Сценарий (уровень спроса)

Вероятность

Прибыль минус затраты на разработку

Продолжать?

 

Высокий

0.20

$600,000

Да

$120,000

Средний

0.50

$400,000

Да

$200,000

Низкий

0.30

$200,000

Да

$60,000

 

 

 

 

$380,000

Ожидаемое значение успеха при наличии полной информации = 0.7 x $380,000 = $266,000

Сценарий

Вероятность

Прибыль минус затраты на разработку

Продолжать?

 

Неуспех и продажа

0.60

($350,000)

Нет

0

Неуспех и невозможность продать

0.40

($400,000)

Нет

0

 

 

 

 

$0

Ожидаемое значение неудачи при наличии полной информации = 0.3 x $0 = $0. Таким образом, общее ожидаемое значение при наличии полной информации = $266,000

Независимо от того, какой метод используется, стоимость полной информации рассчитывается как разница между ожидаемым значением исхода при наличии полной информации и ожидаемым значением исхода в ее отсутствие, т. е. $266,000 – $155,000 = $111,000. Полученное значение представляет собой максимальную сумму, которую имеет смысл заплатить за полную информацию.

Неполная информация

В реальной жизни информация редко является полной. Как правило, удается получить лишь некоторую информацию о вероятностях возможных исходов. Расчет стоимости неполной информации довольно сложен, а на экзамене данного уровня любые расчетные задачи должны быть относительно простыми. Пример расчета стоимости неполной информации вы можете найти в рекомендованных учебниках. Здесь же достаточно сказать, что стоимость неполной информации всегда ниже стоимости полной информации, если только стоимость обеих не равна нулю. Так бывает, если дополнительная информация не влияет на принятие решения. Обратите внимание, что принципы, которые применяются при расчете стоимости неполной информации, ничем не отличаются от принципов, которые применяются при расчете стоимости полной информации.


Статья написана членом экзаменационного совета по курсу "Управление эффективностью бизнеса".