Линейное программирование

Принятие решений является важной темой курса «Управление эффективностью бизнеса» и часто тестируется на экзамене. Вопросы по этой теме могут быть самыми разными, но в данной статье мы рассмотрим только задачи, которые решаются методом линейного программирования

Идеи, представленные в статье, основаны на простом примере. Предположим, что у фирмы, целью которой является максимизация прибыли, имеются два ограничения: рабочая сила, максимальный ресурс которой составляет 16,000 человеко-часов за период, и материалы, максимальное количество которых равно 15,000 кг. Фирма производит и продает два продукта: X и Y. Для производства единицы продукта X необходимо 3 кг материала и 4 человеко-часа, для производства Y – 5 кг материала и 4 человеко-часа. Маржинальная прибыль составляет $30 на единицу продукта Х и $40 на единицу продукта Y. Стоимость материалов обычно составляет $8/кг, а стоимость рабочей силы - $10/человеко-час.

Первым шагом в любой задаче линейного программирования является определение переменных и целевой функции. Определение переменных означает выбор буквы, которую вы собираетесь использовать для обозначения каждого продукта в уравнениях, как показано ниже:

Пусть X = количество продукта X, которое будет произведено
Пусть Y = количество продукта Y, которое будет произведено

Целевая функция  это, по сути, формула совокупной маржинальной прибыли, поскольку целью фирмы является максимизация маржинальной прибыли, и, соответственно, прибыли.

Маржинальная прибыль = ($30 x количество единиц X) + ($40 x количество единиц Y),
таким образом C = 30X + 40Y

Следующим шагом является определение ограничений. В нашем примере имеются два ограничивающих фактора: материалы и рабочая сила. Ограничение по материалам будет задано неравенством 3X + 5Y ≤ 15,000, а ограничение по рабочей силе – неравенством 4X + 4Y ≤ 16,000.

Примечание. Не забывайте задать условие неотрицательности X, Y ≥ 0.

Для построения графика вам необходимо решить неравенства ограничений. Это даст нам координаты линий ограничений на графике.

Материалы:
Если X = 0, Y = 3,000
Если Y = 0, X = 5,000

Труд:
Если X = 0, Y = 4,000
Если Y = 0, X = 4,000

Чтобы построить линию целевой функции (маржинальной прибыли), нужно подставить в формулу значение маржинальной прибыли и решить полученное равенство также, как и неравенства ограничений.

Примечание. Выберите значение маржинальной прибыли, которое легко делится на каждый из показателей маржинальной прибыли на единицу продукта, например:

Пусть C = $60,000
Если X = 0, Y = 1,500
Если Y = 0, X = 2,000

PM LP F1

Область на графике, обозначенная 0ABC, называется областью допустимых значений. Для нахождения точки, отражающей оптимальный производственный план, надо двигать линию целевой функции в сторону от начала координат к наиболее удаленной вершине области допустимых значений, соблюдая первоначальный наклон линии.

Оптимальное решение находится в точке B, которая является точкой пересечения прямых, отражающих ограничения по материалам и труду. Это также самая удаленная от начала координат вершина области допустимых значений, через которую пройдет линия целевой функции.

Оптимальная точка имеет координаты X = 2,500 и Y = 1,500, маржинальная прибыль в этой точке равна $135,000. Вы можете сделать проверку полученного результата (Расчет 1). Предполагается, что вы умеете решать системы уравнений.

Цель данного расчета заключается в том, чтобы предоставить руководству производственный план, который позволит максимизировать маржинальную прибыль, а следовательно, и прибыль. Однако ситуация может измениться, в частности, ограничивающие факторы могут ослабнуть или ужесточиться. Руководство должно понимать, каковы будут финансовые последствия таких изменений. Например, если появится возможность получить дополнительное количество материалов, сколько за них можно заплатить? Если покупать дополнительные материалы, то сколько? Ответы на эти вопросы чрезвычайно важны для принятия решений.

Предположим, что теневая цена материалов составляет $5 за кг (вы можете это проверить, см. Расчет 2). Важно понять, что это значит. Если у руководства появится

возможность получить дополнительное количество материалов, цена за кг этих материалов не должна превышать их обычную цену больше чем на $5. Если цена составит менее $13 ($5 + $8) за кг дополнительных материалов, фирма получит финансовую выгоду. Если цена превысит $13 за кг, это уменьшит маржинальную прибыль фирмы. Руководство должно это понимать.

Может, конечно, существовать уважительная причина для покупки «дорогих» дополнительных материалов (по цене выше $13 за кг). Например, эти материалы могут быть необходимы для выполнения заказа перспективного клиента, который в дальнейшем будет приобретать больше продукции фирмы. Или, возможно, дополнительные материалы нужны для исполнения каких-либо договорных обязательств, так что «слишком высокая» цена за материалы будет оправданной, если предотвратит штрафные санкции по договору. Соответствующие затраты являются релевантными для принятия решения о закупке, но редко включаются в расчет теневой цены. Аналогично, может существовать причина не покупать «дешевые» материалы по цене менее $13 за кг, например, качество этих материалов и надежность поставщика могут оказаться неприемлемыми. Бухгалтеры должны признать, что цена – это еще не все.

Сколько материалов купить?

Студенты должны понимать, что при покупке дополнительного количества материалов соответствующее ограничение ослабевает, и линия этого ограничения на графике смещается, удаляясь от начала координат. В конце концов, линия ограничений по материалам сместиться настолько, что не будет пересекать линию ограничений по труду в зоне положительных значений Х и Y, и последняя точка пересечения этих линий в зоне положительных значений будет являться точкой, в которой фирме перестанет быть выгодно покупать дополнительные материалы (точка D на графике). Тогда единственным ограничивающим фактором станет труд.

Нам нужно выяснить, сколько материалов необходимо в точке D, в которой производится 4,000 единиц продукта Y и ни одной единицы продукта Х. Для производства 4,000 единиц Y требуется 20,000 кг материалов. Следовательно, максимальное количество дополнительных материалов, которое имеет смысл купить, составляет 5,000 кг (20,000  15,000).

Примечание. Хотя на этом уровне важнее интерпретация, за базовые расчеты также предусмотрены баллы.

Расчеты

Расчет 1
Оптимальный производственный план находится в точке B, которая образуется в результате пересечения прямых
3X + 5Y = 15,000 и
4X + 4Y = 16,000

Умножив первое уравнение на 4, а второе на 3, получаем
12X + 20Y = 60,000
12X + 12Y = 48,000

Вычтем второе уравнение из первого и получим:
8Y = 12,000, т.е. Y = 1,500

Подставим Y = 1,500 в любое из приведенных выше уравнений и получим значение X:
3X + 5 (1,500) = 15,000
3X = 7,500
X = 2,500

Маржинальная прибыль при Х = 2,500 и Y = 1,500 составляет (2,500 x $30) + (1,500 x $40) = $135,000.

Расчет 2: теневая цена материалов
Чтобы найти теневую цену, мы увеличиваем ограничение по материалам на 1 кг и решаем следующую систему уравнений:

3X + 5Y = 15,001
4X + 4Y = 16,000

Умножив первое уравнение на 4, а второе на 3, получаем:

12X + 20Y = 60,004
12X + 12Y = 48,000
8Y = 12,004
Y = 1,500.5

Подставим Y = 1,500.5 в любое из приведенных выше уравнений и получим X:

3X + 5 (1,500.5) = 15,001
3X = 7,498.5 X = 2,499.5

Новый показатель маржинальной прибыли: (2,499.5 х $30) + (1,500.5 х $40) = $135,005

Увеличение маржинальной прибыли по сравнению с первоначальным оптимальным производственным планом и будет теневой ценой:
$135,005 – $135,000 = $5 за кг.

Статья написана членом экзаменационного совета по курсу «Управление эффективностью бизнеса»